El triángulo de Sierpiński

Vamos hoy con una curiosidad matemática, sobre fractales, ya que el muchacho de la foto, su creador, va a cumplir 83 años dentro de unos días. En cualquier caso hoy hablamos de otro matemático, Wacław Franciszek Sierpiński.

El juego es el siguiente. Tenemos este triángulo:

 

Ahora, con un lápiz, marcamos un punto al azar, y tomamos un dado de seis caras. Vamos a repetir el siguiente algoritmo hasta que nos cansemos: tiramos el dado, si sale 1 ó 2, marcamos con el lápiz el punto intermedio entre nuestro punto anterior y A; si sale 3 ó 4 hacemos lo mismo con el punto B; y si sale 5 ó 6 marcamos el punto intermedio con el punto C.

La pregunta es, ¿dibujaran los puntos resultantes alguna figura o será un caos absoluto?
Tras pensarlo (o probarlo empíricamente), la respuesta y su documentación.

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